Κύριος στόχος του μαθήματος είναι η πλήρης κατανόηση των θεμελιωδών εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας τις οποίες το Τμήμα (αλλά και σχεδόν όλα τα άλλα παρόμοια Τμήματα ανά τον κόσμο) θεωρεί απαραίτητες για την συνέχεια των σπουδών. Επιμέρους στόχος του μαθήματος είναι η απόκτηση συγκεκριμένων τεχνικών γνώσεων (όπως για παράδειγμα πώς μπορώ να λύσω ένα γραμμικό σύστημα, πώς μπορώ να υπολογίσω τις ιδιοτιμές του, …) οι οποίες όμως από μόνες τους θα είναι παντελώς άχρηστες.
Συγκεκριμένα οι φοιτητές/τριες θα μπορούν να

• Αποδείξουν την ικανότητά τους στην κατανόηση και χρήση των βασικών ιδεών της γραμμικής άλγεβρας, συμπεριλαμβανομένων των εννοιών της γραμμικής ανεξαρτησίας, των γραμμικών μετασχηματισμών, των βάσεων και των διαστάσεων των διανυσματικών χώρων, των ιδιοτιμών, των ιδιοδιανύσματων και της διαγωνιοποίησης.
• Συνθέτουν σαφείς και ακριβείς αποδείξεις, χρησιμοποιώντας τις έννοιες του μαθήματος.
• Προσδιορίσουν αν ένα σύστημα εξισώσεων έχει λύση και να βρούνε την γενική λύση του.
• Αναλύσουν έναν πίνακα σε γινόμενο απλούστερων πινάκων.
• Επιλύουν συστήματα της μορφής Ax = b , όπου Α είναι ένας πίνακας mxn και το x είναι ένα διάνυσμα του ℜ^n
• Καθορίσουν εάν οι στήλες ενός δεδομένου πίνακα είναι γραμμικά εξαρτημένες ή όχι.
• Κατανοήσουν ποιος είναι ο γραμμικός μετασχηματισμός που ορίζεται από x → Ax .
• Αναγνωρίσουν διάφορες κατηγορίες ειδικών πινάκων.
• Υπολογίσουν την ορίζουσα ενός δεδομένου πίνακα.
• Καθορίσουν τους τέσσερεις θεμελιώδεις υπόχωρους ενός δεδομένου πίνακα και να βρούνε τις βάσεις τους και να συμπεράνουν την ύπαρξη και την μοναδικότητα της λύσης. Καθορίστε ένα subspace από ένα διανυσματικό χώρο.
• Αλλάζουν τις συντεταγμένες ενός διανύσματα από τη βάση σε μια τυπική βάση.
• Υπολογίζουν την λύση προβλημάτων ελάχιστων τετραγώνων.
• Καθορίζουν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός δεδομένου πίνακα.
• Υπολογίζουν τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα.

Διαλέξεις

Κυρίαρχο στοιχείο του μαθήματος είναι οι διαλέξεις. Θεωρώ ότι εάν κάποιος κατανοεί πλήρως το υλικό των  διαλέξεων και μπορεί να λύσει τις ασκήσεις που προτείνω, τότε δεν χρειάζεται να κάνει τίποτε παραπάνω. Η ύλη των διαλέξεων είναι σχεδόν ταυτόσημη της ύλης των βιβλίων του Στράνγκ. Η παρουσίασή της ενδεχομένως να διαφέρει, κατά περιπτώσεις δε σημαντικά. Οι διαλέξεις αποτελούν τον μόνο επίσημο δίαυλο επικοινωνίας μας. Όλες οι επίσημες ανακοινώσεις του μαθήματος θα αναγράφονται στον πίνακα των διαλέξεων. Όλες οι επιπρόσθετες επικοινωνίες μας γίνονται στην βάση των διαλέξεων.  Όποιος  χάσει, για κάποιον άξιο λόγου λόγο, κάποια διάλεξη μπορεί να ζητήσει επανάληψη της διάλεξης αυτής στο γραφείο μου.

Φροντιστήρια

Σκοπός των φροντιστηρίων είναι η λύση τυχόν αποριών που δημιουργήθηκαν στις διαλέξεις και η επεξήγηση και ο σχολιασμός των ασκήσεων. Σκοπός των φροντιστηρίων δεν είναι η επίλυση των ασκήσεων. Κατά την διάρκεια 3-5 φροντιστηρίων θα δοθούν απροειδοποίητα μικρά (10’-20’) τεστ.

Έχουν ήδη δημιουργηθεί 4 φροντιστηριακά τμήματα. Το δύο από αυτά αφορούν αποκλειστικά πρωτοετείς φοιτητές και θα πραγματοποιούνται στις αίθουσες του 4ου ορόφου του κτιρίου των Μεταπτυχιακών Σπουδών (Ιάσονος 10). Μετακίνηση φοιτητών μεταξύ τμημάτων επιτρέπεται μόνον με την σύμφωνη γνώμη των βοηθών.

Ασκήσεις

Με το τέλος της διάλεξης κάθε Τετάρτη θα σας παραθέτω ένα σύνολο ασκήσεων η λύση των οποίων θα σας βοηθήσει να εμπεδώσετε την διδαχθείσα ύλη και να σιγουρευτείτε ότι πράγματι την καταλάβατε. Επιπρόσθετα θα σας βοηθήσει να αποκτήσετε εμπειρία σχετικά με την τελική εξέταση και τέλος θα σας αποκομίσει και (μικρό) βαθμολογικό κέρδος. Τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να τις παραδώσετε αυτοπροσώπως σε εμένα πριν την έναρξη της διάλεξης της επόμενης Τετάρτης.

Εξετάσεις

Σκοπός των εξετάσεων είναι να κατανοήσω το τι κατανοήσατε από τις διαλέξεις. Επιπρόσθετα βεβαίως αποτελούν, για εσάς,  και μια διαδικασία απόκτησης γνώσεων και εμπειρίας. Θα δοθούν οι παρακάτω εξετάσεις.

• 1η εξέταση προόδου: 9:00-10:30 της 3ης Νοεμβρίου
• 2η εξέταση προόδου: 9:00-11:30 της 15ης Δεκεμβρίου
• Τελική Εξέταση: στην εξεταστική περίοδο του Ιανουαρίου

Όλες οι εξετάσεις θα πραγματοποιηθούν, χωρίς βιβλία και σημειώσεις, στο Αμφιθέατρο Κορδάτου και θα αφορούν την ύλη που θα έχουμε καλύψει μέχρι την στιγμή της εξέτασης.

Βαθμολογία

Ο τελικός βαθμός σας θα προσδιορισθεί με τον εξής τύπο

Τελικός Βαθμός = max(εξ,( 10*τε+15*ε1+25*ε2+50*εξ)/100)

Όπου

• εξ = Βαθμός τελικής εξέτασης
• τε = Μέσος όρος του βαθμού των τεστ
• ε1 = Βαθμός 1ης εξέτασης προόδου
• ε2 = Βαθμός 2ης εξέτασης προόδου

Βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Εισαγωγή, διανύσματα, πίνακες, πράξεις με διανύσματα και πίνακες, ιδιότητες. Γραμμικά αλγεβρικά συστήματα, απαλοιφή Gauss, ανάλυση LU, ανάλυση Cholesky, πολυπλοκότητα απαλοιφής, Αντιστρεψιμότητα. Μη τετραγωνικοί πίνακες. Γραμμική ανεξαρτησία και διανυσματικοί χώροι. Βάσεις. Θεμελιώδεις χώροι πινάκων, ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης. Εσωτερικό γινόμενο, αποστάσεις, μέτρα και ορθογωνιότητα διανυσμάτων. Τετραγωνικοί πίνακες και μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων. Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσών. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, ορθοκανονικότητα, ανάλυση ιδιάζουσας τιμής, κανονική μορφή Jordan.

Βάβαλης Εμμανουήλ

Μία εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, A. O. Morris, Α.Γ. Πνευματικός, 1980, Αθήνα

Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, G. Strang, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2006, Πάτρα

Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, G. Strang, ΙΤΕ/Παν/κες Εκδόσεις Κρήτης, 2009, Ηράκλειο

Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι. Χατζάρας-Θ. Γραμμένος, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Ο.Ε., 2011, Θεσ/νίκη

Κανένα