Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

>Διαφορικές Εξισώσεις και Γραφικός προσδιορισμός λύσεων. Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών.

Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Διαφορικές εξισώσεις ολικού διαφορικού. Εξίσωση Bernoulli. Πολλαπλασιαστής Euler.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων.

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Διαφορικές εξισώσεις Euler.

> Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Ομογενή/μη ομογενή γραμμικά συστήματα. Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Euler. Εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων σε απλά μοντέλα βιολογικώνσυστημάτων όπως προβλήματα μεταβολής πληθυσμών, κατανομών φαρμάκου στο αίμα κ.α.  

> Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Mετασχηματισμός Laplace. Εφαρμογές στην επίλυση των Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές.

Μετασχηματισμός Fourier. Εφαρμογές στην επίλυση των Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεωνμε σταθερούς συντελεστές.

> Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση:

Μιγαδικοί αριθμοί και συναρτήσεις. Ολόμορφες συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann. Mετασχηματισμοί Laplace, Fourier.

> Στοχαστική ανάλυση: Πολυμεταβλητές τεχνικές στην Ιατρική έρευνα. Στοχαστικές διαδικασίες στη Βιολογική έρευνα και στην ανάλυση αλυσίδων DNA. Εισαγωγή στη Πολυμεταβλητή Στατιστική: Πολυδιάστατα δεδομένα. Το διάνυσμα των μέσων τιμών. Πίνακας συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων. Ανασκόπιση στην πολλαπλή παλινδρόμηση. Γραφικές τεχνικές για πολυδιάστατα δεδομένα. Έλεγχοι υποθέσεων. Πολυμεταβλητή ανάλυση διακύμανσης (MANOVA). Ανάλυση σε κύριες συνιστώσες. Παραγοντική ανάλυση. Εφαρμογές από το χώρο της Ψυχιατρικής. Διαχωριστική ανάλυση. Ανάλυση συστάδων. Εφαρμογές με το SPSS. Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες: Η έννοια της στοχαστικής διαδικασίας. Στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου. Στοχαστικές διαδικασίες συνεχούς χρόνου. Χώροι καταστάσεων. Εφαρμογές στη Γενετική. Αρχική κατανομή. Πιθανότητες μετάβασης. Πίνακες μετάβασης. Πιθανότητες μετάβασης ανωτέρας τάξης. Μοντέλα Markov στη Βιολογία. Ορισμοί, βασικές έννοιες και παραδείγματα. Στάσιμες κατανομές. Αλυσίδες γέννησης και θανάτου. Ομογενείς αλυσίδες Markov συνεχούς παραμέτρου. Ορισμοί ομοιόμορφης διαδικασίας Poisson. Εφαρμογές. Ανάλυση ακολουθιών μακρομορίων, στοχαστικές διαδικασίες στην εξέλιξη. Εισαγωγή στα Hidden Markov Models.

1. Τραχανάς Στέφ., Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, ΙΤΕ, έκδοση 1^η, 2008, Ηράκλειο Κρήτης.
2. Βραχάτης Μιχ., Αριθμητική Ανάλυση: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, εκδόσεις Κλειδάριθμος, ΕΠΕ, έκδοση 1^η, 2012, Αθήνα.
3. Αλικάκος Νικ., Καλογερόπουλος Γρ., Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, εκδόσεις Σύγχρονη Εκδοτική ΕΠΕ, έκδοση 1^η , 2003, Αθήνα.
4. Βουγιατζής Γ., Μπόζης Γ. Παπαδόπουλος Δ., Διαφορικές Εξισώσεις και Εφαρμογές, εκδόσεις Κλειδάριθμος, ΕΠΕ, έκδοση 1^η , 2012, Αθήνα.
5. Σιάρδος Γ., Μέθοδοι Πολυμεταβλητής Στατιστικής Ανάλυσης, εκδόσεις Σταμούλη Α.Ε., έκδοση 3^η, 2005, Αθήνα.
6. Καρλής Δ., Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση, εκδόσεις Σταμούλη Α.Ε., έκδοση 1^η, 2005, Αθήνα.

Βασική επιδίωξη  του μαθήματος είναι η εισαγωγή των φοιτητών στη μαθηματική μοντελοποίηση συστημάτων και στην εξοικείωσή τους  με μεθόδους ανάλυσης δεδομένων, με στόχο την ανάπτυξη μεθοδολογιών κατάλληλων για  την υποστήριξη των πτυχιακών  εργασιών του τμήματος.

Σκοπός του μαθήματος είναι :

• Η κατανόηση και η εξοικείωση των φοιτητών με τη διαδικασία περιγραφής ενός προβλήματος (από οποιονδήποτε ερευνητική περιοχή) με μια διαφορική εξίσωση ή σύστημα διαφορικών εξισώσεων ή ακόμη τη συλλογή, οργάνωση, μελέτη και ανάλυση βιολογικών δεδομένων
• Απόκτηση γνώσεων και δεξιοτήτων για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων ή συστημάτων και την ανάπτυξη μεθόδων πολυμεταβλητής ανάλυσης 

Παράδοση θεωρίας με αρκετά παραδείγματα, επίλυση ασκήσεων στο μάθημα.

Εκτός από την παρακολούθηση των ωρών θεωρίας, μπορεί να χρησιμοποιείται κάθε Δευτέρα το Εργαστήριο Ι τις ώρες 20:00-22:00 για εξάσκηση των φοιτητών και εκπόνηση των ασκήσεων, χρησιμοποιώντας Matlab.

Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου και μία ατομική εργασία κατ΄ οίκον με προφορική παρουσίαση αυτής στο μάθημα. 

Δευτέρα 18:00-20:00